Ответ: Занимательные задачки
Вот еще детская задачка. Где-то для 5 класса школы.
))
P - простое число больше 3. Доказать, что
P^2 - 1 (пэ в квадрате минус один) делится на 24 нацело.
Задачка оказалась действительно детская, если знать, как решать
Три бессонных ночи, десяток чашек кофе, больше десяти исписанных листов и вот ответ:
Итак, запишем условие задачи:
(P^2-1)/24=N, где N - любое натуральное число, P - простое число больше 3.
Перепишем условие как P^2-1=24N
Иначе, нужно доказать, что P^2-1 кратно 24.
Рассмотрим, что из себя представляет число 24. Его делителями являются 2,3,4,6,8,12.
2 и 3 - простые числа, а это значит, что остальные делители числа 24 можно выразить через эти простые числа:
4=2*2
6=2*3
8=2*2*2
12=2*2*3
Какую бы комбинацию множителей мы не выбрали, будет справедливо:
2*12=3*8=4*6=2*2*2*3=24
Т.е. 24 без остатка делится 2*2*2*3.
Этим же условием должно обладать выражение P^2-1.
Таким образом нам нужно доказать, что P^2-1 одновременно делится на 3 и на 2*2*2=8.
Сначала докажем. что P^2-1 делится на 3.
Запишем P^2-1=(P-1)(P+1).
Рассмотрим ряд натуральных чисел - 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12... и т.д.
Каждое третье число в этом ряду делится на 3 - 3,6,9,12,15,18 и т.д. (хотя это тоже нужно доказывать, но это другая задачка...).
Теперь рассмотрим ряд (P-1), P, (P+1). Это не что иное как последовательность трех натуральных чисел. И одно из этих чисел должно делиться на 3, так как они идут подряд. Ясно что само P на 3 не делится, так как Р - число простое. Значит на 3 делится либо (P-1), либо (P+1). А если один из сомножителей выражения (P-1)(P+1) делится на 3, то на 3 делится и все выражение (P-1)(P+1)=P^2-1
Теперь докажем, что P^2-1 делится на 8.
Ясно, что простое число Р - нечетное. Иначе, оно делилось бы на 2 и не было бы простым.
Любое нечетное число можно записать как 2n-1, где n - натурально число.
Подставим 2n-1 в выражение P^2-1:
(2n-1)^2-1=(2n-1)(2n-1)-1=4n^2-4n+1-1=4n^2-4n=4n(n-1).
(n-1), n - последовательность двух натуральных чисел. Это значит, что либо n, либо (n-1) - четное. Это значит, что выражение n(n-1) кратно 2 и делится на 2. Если добавить сюда множитель 4, то получим, что 4n(n-1) делится на 8.
Таким образом - 4n(n-1)=(2n-1)^2-1=P^2-1 - делится на 8, что и требовалось доказать.
Еще про самолет - в этой задачке какие угодно силы можно куда угодно прикладывать. Можно на веревочке тянуть, можно руками толкать, можно камнями кидаться... Пока выполняется условие равенства скоростей колес и ленты транспортера, направленных в разные стороны, самолет с места не сдвинется. В этой задаче ответ уже содержится в условии.
